Soal Analisis II

TUGAS MANDIRI

ANALISIS II

(MATA4320)

                                                                                                                                               

1.       Bilangan real s adalah limit dari barisan  jika untuk setiap bilangan e  0 yang diberikan terdapat bilangan asli , sehingga untuk semua bilangan asli n dengan

n    berlaku  e. Jadi, bilangan real t bukan limit barisan jika ada bilangan

e  0 sehingga untuk setiap bilangan asli  yang diberikan, ada bilangan asli n   dan   e.

Soal:   Jika s_n  1 untuk semua bilangan asli n dan s_n ® s, buktikan s  1 dengan menunjukkan bahwa jika t  1 maka t bukan lim s_n.

2.       Jika x dan y real dan x  y maka terdapat bilangan rasional r dan bilangan irasional q sehingga x  r  y dan x  q  y.

Soal:   Diberikan bilangan irasional a, buatlah barisan bilangan rasional dan  s_n ® a.

3.       Di dalam sistem bilangan real  diberikan himpunan .

(a)           Apakah 0 titik limit E? Terangkan jawaban Anda.

(b)           Apakah 1 titik limit E? Terangkan jawaban Anda.

(c)           Apakah E terbuka, tertutup, tidak terbuka maupun tidak tertutup?

(d)           Tentukan E’ himpunan semua titik limit E.

4.       Diberikan fungsi f(x) = x³ – 27 untuk . Dengan menggunakan e, d buktikan

5.       Diberikan fungsi f yang didefinisikan dan kontinu seragam pada himpunan E Ì  yang terbatas tetapi tidak tertutup. Buktikan terdapat M Î  sehingga untuk semua

x Î E.

6.       Jika konstanta real  dan , buktikan dengan menggunakan Teorema Rolle bahwa persamaan  paling sedikit mempunyai satu akar.